若数列{an}是递增数列,且对任意自然数n,an=n^2+kn恒成立,求实数k的取值范围.

An=n^2+kn
An-1=(n-1)^2+k(n-1)
{an}是递增数列,An>An-1
n^2+kn>(n-1)^2+k(n-1)=n^2-2n+1+kn-k
k>1-2n

作草图,开口向上.因为对任意自然数恒成立.
只需要-k/2≤0,即k≥0即可.
注意,0也是自然数
参考资料:
从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。
目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了国际交流的方便，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB3100~3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，我们的教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。

这个题目可以借助抛物线来做。
An=n^2+kn可以看作是开口向上，以(-k/2,-k^2/4)为顶点，过原点及点(-k,0)的抛物线。要使n为一切自然数时皆能成立，则令-k/2<=1即可,解得k>=-2